\(\int \frac {x^2 (d^2-e^2 x^2)^p}{d+e x} \, dx\) [269]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 119 \[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\frac {d^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{2 e^3 p}-\frac {\left (d^2-e^2 x^2\right )^{1+p}}{2 e^3 (1+p)}+\frac {x^3 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {3}{2},1-p,\frac {5}{2},\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )}{3 d} \]

[Out]

1/2*d^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/e^3/p-1/2*(-e^2*x^2+d^2)^(p+1)/e^3/(p+1)+1/3*x^3*(-e^2*x^2+d^2)^p*hypergeom([3/2, 1-p
],[5/2],e^2*x^2/d^2)/d/((1-e^2*x^2/d^2)^p)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.06 (sec) , antiderivative size = 119, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.240, Rules used = {864, 778, 372, 371, 272, 45} \[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\frac {x^3 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {3}{2},1-p,\frac {5}{2},\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )}{3 d}+\frac {d^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{2 e^3 p}-\frac {\left (d^2-e^2 x^2\right )^{p+1}}{2 e^3 (p+1)} \]

[In]

Int[(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(d + e*x),x]

[Out]

(d^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(2*e^3*p) - (d^2 - e^2*x^2)^(1 + p)/(2*e^3*(1 + p)) + (x^3*(d^2 - e^2*x^2)^p*Hypergeom
etric2F1[3/2, 1 - p, 5/2, (e^2*x^2)/d^2])/(3*d*(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p)

Rule 45

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(a + b*x)^m*(c + d
*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[m, 0] && ( !IntegerQ[n] || (EqQ[c, 0]
&& LeQ[7*m + 4*n + 4, 0]) || LtQ[9*m + 5*(n + 1), 0] || GtQ[m + n + 2, 0])

Rule 272

Int[(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplify[(m + 1)/n] - 1)*(a
+ b*x)^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, m, n, p}, x] && IntegerQ[Simplify[(m + 1)/n]]

Rule 371

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hyperg
eometric2F1[-p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, (-b)*(x^n/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 372

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Dist[a^IntPart[p]*((a + b*x^n)^FracPart[p]/
(1 + b*(x^n/a))^FracPart[p]), Int[(c*x)^m*(1 + b*(x^n/a))^p, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[
p, 0] &&  !(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 778

Int[(x_)^(m_.)*((f_) + (g_.)*(x_))*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[f, Int[x^m*(a + c*x^2)^p, x]
, x] + Dist[g, Int[x^(m + 1)*(a + c*x^2)^p, x], x] /; FreeQ[{a, c, f, g, p}, x] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[2
*p]

Rule 864

Int[((x_)^(n_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_))/((d_) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Int[x^n*(a/d + c*(x/e))*(a + c*x
^2)^(p - 1), x] /; FreeQ[{a, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[c*d^2 + a*e^2, 0] &&  !IntegerQ[p] && ( !IntegerQ[n] ||
!IntegerQ[2*p] || IGtQ[n, 2] || (GtQ[p, 0] && NeQ[n, 2]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int x^2 (d-e x) \left (d^2-e^2 x^2\right )^{-1+p} \, dx \\ & = d \int x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^{-1+p} \, dx-e \int x^3 \left (d^2-e^2 x^2\right )^{-1+p} \, dx \\ & = -\left (\frac {1}{2} e \text {Subst}\left (\int x \left (d^2-e^2 x\right )^{-1+p} \, dx,x,x^2\right )\right )+\frac {\left (\left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p}\right ) \int x^2 \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-1+p} \, dx}{d} \\ & = \frac {x^3 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p} \, _2F_1\left (\frac {3}{2},1-p;\frac {5}{2};\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )}{3 d}-\frac {1}{2} e \text {Subst}\left (\int \left (\frac {d^2 \left (d^2-e^2 x\right )^{-1+p}}{e^2}-\frac {\left (d^2-e^2 x\right )^p}{e^2}\right ) \, dx,x,x^2\right ) \\ & = \frac {d^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{2 e^3 p}-\frac {\left (d^2-e^2 x^2\right )^{1+p}}{2 e^3 (1+p)}+\frac {x^3 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p} \, _2F_1\left (\frac {3}{2},1-p;\frac {5}{2};\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )}{3 d} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.34 (sec) , antiderivative size = 198, normalized size of antiderivative = 1.66 \[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=-\frac {\left (1+\frac {e x}{d}\right )^{-p} \left (d^2-e^2 x^2\right )^p \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^{-p} \left (\left (1+\frac {e x}{d}\right )^p \left (-e^2 x^2 \left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^p+d^2 \left (-1+\left (1-\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )^p\right )\right )+2 d e (1+p) x \left (1+\frac {e x}{d}\right )^p \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},-p,\frac {3}{2},\frac {e^2 x^2}{d^2}\right )+d (d-e x) \left (2-\frac {2 e^2 x^2}{d^2}\right )^p \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1-p,1+p,2+p,\frac {d-e x}{2 d}\right )\right )}{2 e^3 (1+p)} \]

[In]

Integrate[(x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(d + e*x),x]

[Out]

-1/2*((d^2 - e^2*x^2)^p*((1 + (e*x)/d)^p*(-(e^2*x^2*(1 - (e^2*x^2)/d^2)^p) + d^2*(-1 + (1 - (e^2*x^2)/d^2)^p))
+ 2*d*e*(1 + p)*x*(1 + (e*x)/d)^p*Hypergeometric2F1[1/2, -p, 3/2, (e^2*x^2)/d^2] + d*(d - e*x)*(2 - (2*e^2*x^
2)/d^2)^p*Hypergeometric2F1[1 - p, 1 + p, 2 + p, (d - e*x)/(2*d)]))/(e^3*(1 + p)*(1 + (e*x)/d)^p*(1 - (e^2*x^2
)/d^2)^p)

Maple [F]

\[\int \frac {x^{2} \left (-e^{2} x^{2}+d^{2}\right )^{p}}{e x +d}d x\]

[In]

int(x^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/(e*x+d),x)

[Out]

int(x^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/(e*x+d),x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\int { \frac {{\left (-e^{2} x^{2} + d^{2}\right )}^{p} x^{2}}{e x + d} \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/(e*x+d),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((-e^2*x^2 + d^2)^p*x^2/(e*x + d), x)

Sympy [C] (verification not implemented)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 12.29 (sec) , antiderivative size = 14895, normalized size of antiderivative = 125.17 \[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(x**2*(-e**2*x**2+d**2)**p/(e*x+d),x)

[Out]

Piecewise((0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/
2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)
+ 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/
2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*
d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**
(2*p + 2)*p*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e*
*3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*g
amma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma
(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gam
ma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)
+ 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**
4*d**(2*p + 2)*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4
*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/
2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*p*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2
*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d*
*4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d*
*2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/
2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**
3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*acoth(d/(e
*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0*
*p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d
**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(
-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log
(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*g
amma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*
p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**
3*p*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1))
- 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**3*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*
d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*p*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)
+ 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*
d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p**2*x**(2*p + 1
)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*g
amma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d*
*2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2)*(-1 + e**2*x**2/d**2)**(p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma
(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d
**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2
)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1
) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5
*e**(2*p - 2)*p**2*x**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,),
d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d
**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*
p - 2)*p*x**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**
2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p
*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x
**2*(-1 + e**2*x**2/d**2)**(p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*
x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(
1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)), (Abs(e**2*x**2/d**2) > 1) & (Abs(d**2/(e**2*x**2)) > 1)),
(0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*
e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*
p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**(2*p + 2)*
p*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(
p + 1)) + 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p
)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*
e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**(2*p
+ 2)*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*p*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5
*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d**2/(e**2*x
**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0
**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d**2/(e**2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(
1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*acoth(d/(e*x))*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d*
*(2*p + 2)*e**2*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*g
amma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e*
*3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(d**2/(e**
2*x**2) - 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*acoth(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/
(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gam
ma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**3*p*x**3*g
amma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d
*d**(2*p + 2)*e**3*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*p*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e
**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*
p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*ga
mma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi
*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*ga
mma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x*
*2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**4*d**(2*p + 2)*(1 - e**2*x**2/d**2)**(p + 1)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*
d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2)*gamma(p)*gamma(1/2 -
p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)*p**2*x**2
*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*
d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)*p*x**2*x**(2*p +
1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*
p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*ga
mma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*(1 - e**2*x**2/d**2
)**(p + 1)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*ga
mma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) -
d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1)), Abs(d**2/(e**2*x**2)) > 1), (0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*
p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*
log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e*
*3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d*
*2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p
+ 2)*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d
**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**(2*p + 2)*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*p*x*gamma(1/2 - p)*gamma
(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*
x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*
x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*
d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d
**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gam
ma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)
+ 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**
2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x
**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**
3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(d**2/(e**2
*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*g
amma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) +
0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*atanh(d/(e*x))*gamma(
1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**
(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)) - 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**3*p*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e
**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**3*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e
**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p
)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*p*x**4*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e*
*5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4
*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d
**5*e**3*e**(2*p - 2)*p**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p
,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**
(2*p - 2)*p*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*
x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x
**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2)*(-1 + e**2
*x**2/d**2)**(p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*
e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) -
2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*ga
mma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)*p**2*x**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2
)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*
e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)*p*x**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1
- p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1)) + d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*(-1 + e**2*x**2/d**2)**(p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(
-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(p)
*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2
*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)), Abs(e**2*x**2/d**2)
> 1), (0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2
*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*p*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**
2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*d**(2*
p + 2)*p*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1)) + 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p
+ 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**4*d**(2*p + 2)*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) +
2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d**4*
d**(2*p + 2)*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e
**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*p*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)
*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d
**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**3*d**(2*p + 2)*e*x*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4
*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 -
p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(d**2
/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p +
1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*log(-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3
*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*g
amma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*atanh(d/(e*
x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma
(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**
p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d*
*4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(
1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(d**2/(e**2*x**2))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-
2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma
(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*log(
-d**2/(e**2*x**2) + 1)*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*g
amma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1)) + 2*0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*atanh(d/(e*x))*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 0**p*d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(1/2 - p)*gam
ma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*
p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**
3*p*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1))
- 2*0**p*d*d**(2*p + 2)*e**3*x**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*
d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*p*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2
- p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)
+ 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + 0**p*d**(2*p + 2)*e**4*x**4*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)/(-2*
d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p**2*x**(2*p + 1
)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*
gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamm
a(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**5*e**3*e**(2*p - 2)*p*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*g
amma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*
gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d*
*2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**4*d**(2*p + 2)*(1 - e**2*x**2/d**2)**(p + 1)*gamma(p)*gamma(1/2
- p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x*
*2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**4*d**(2*p + 2)*gamma(p)*ga
mma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e*
*5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)
*p**2*x**2*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x
**2))/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x*
*2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) + d**3*e**5*e**(2*p - 2)*p*x**2
*x**(2*p + 1)*exp(I*pi*p)*gamma(p)*gamma(-p - 1/2)*hyper((1 - p, -p - 1/2), (1/2 - p,), d**2/(e**2*x**2))/(-2*
d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1)) - d**2*d**(2*p + 2)*e**2*p*x**2*(1 - e**2
*x**2/d**2)**(p + 1)*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*d**4*e**3*gamma(1
/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(
p + 1)) - d**2*d**(2*p + 2)*e**2*x**2*gamma(p)*gamma(1/2 - p)/(-2*d**4*e**3*p*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) - 2*
d**4*e**3*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*p*x**2*gamma(1/2 - p)*gamma(p + 1) + 2*d**2*e**5*x**2*gamm
a(1/2 - p)*gamma(p + 1)), True))

Maxima [F]

\[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\int { \frac {{\left (-e^{2} x^{2} + d^{2}\right )}^{p} x^{2}}{e x + d} \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/(e*x+d),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((-e^2*x^2 + d^2)^p*x^2/(e*x + d), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\int { \frac {{\left (-e^{2} x^{2} + d^{2}\right )}^{p} x^{2}}{e x + d} \,d x } \]

[In]

integrate(x^2*(-e^2*x^2+d^2)^p/(e*x+d),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((-e^2*x^2 + d^2)^p*x^2/(e*x + d), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {x^2 \left (d^2-e^2 x^2\right )^p}{d+e x} \, dx=\int \frac {x^2\,{\left (d^2-e^2\,x^2\right )}^p}{d+e\,x} \,d x \]

[In]

int((x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(d + e*x),x)

[Out]

int((x^2*(d^2 - e^2*x^2)^p)/(d + e*x), x)